Воспитанник футбольной школы города Гудаута. Первый тренер — Владимир Астамурович Шамба.

В 17 лет попал в «Динамо» (Сухуми). На сборе на олимпийской базе в Эшерах его приметили тренеры СКА (Хабаровск), за которую он играл 3 месяца. По сути это был призыв в армию, который закончился благодаря интересу к Цвейбе со стороны «Динамо» (Тбилиси).

Дебютировал в составе тбилисцев в 1985 в матче против «Кайрата». Первых успехов как игрок начал добиваться в «Динамо» (Тбилиси). В конце 1989 года по совету Лобановского, узнавшего о выходе тбилисцев из футбольного союзного чемпионата, перешёл в «Динамо» (Киев).

В конце 1991 года имел приглашение от «Тоттенхэм Хотспур», причем представители английского клуба уже выезжали в аэропорт для встречи Цвейбы, однако он ответил отказом. По собственному признанию, по 2-м причинам: из-за сильной усталости после сезона и из-за настойчивых просьб «Динамо» помочь клубу в Лиге Чемпионов. Настойчивость киевлян была подкреплена предоставлением Цвейбе квартиры и машины в Киеве.

Цвейба рассчитывал уехать после Евро-92, однако стоящих предложений не было, и он продолжил выступления за «Динамо». В зимнее межсезонье 1992/93 выезжал вместе с Олегом Саленко на просмотр в «Карлсруэ». Однако по приезде оказалось, что в команде просматривается другой русский — Андрей Чернышов, и что на Цвейбу в команде не рассчитывают. Вернувшись в Киев, стал выступать за «Динамо-2», поскольку главный тренер киевлян, Михаил Фоменко, уже не рассчитывал на Цвейбу.

В середине 1993 года оказался в России, где выступал за КамАЗ. В 1994 уехал в Японию, где ему подобрал клуб личный агент. Выступал за «Гамба Осака», где его партнёрами были Сергей Алейников и Олег

В январе 1997 года выступил за сборную клубов России на Кубке Содружества 1997. Спустя пару недель заключил контракт с «Аланией», в которой играл до конца года.

Завершил свою игровую карьеру в 2001 году в московском «Динамо», эта команда стала четвёртой динамовской в карьере Цвейбы. В 2003 году был назначен на пост тренера-селекционера клуб «Торпедо-Металлург» Москва. В последнее время выступает за команды ветеранов российского футбола.

Карьера в сборных

Обладатель уникального достижения — игрок 4-х национальных сборных по футболу: СССР, СНГ, России и Украины (сыграл один матч в 1992 году).

Участник чемпионата Европы 1992 года. Должен был играть и на чемпионата мира 1990 года, однако за 3 дня до матча с Румынией получил травму ноги на тренировке в единоборстве с Яремчуком, из-за излишнего рвения последнего.